Сумма цифр трехзначного числа не больше 27.

Значит наибольшее число, которое может быть в 11 раз больше - 297.

Но сумма цифр таких чисел меньше, чем у 299 = 20.
Значит возможное число меньше 220.
Трехзначных чисел, делящихся на 11 и меньше 220 немного:

110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209.

Сумму их цифр: 
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 11. 

Видим, что требуемое равенство не выполняется. 

Перебор можно еще уменьшить.