ДАНО: F(x) = x³/(x²-1)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения:

В знаменателе: х²-1 = (x-1)*(x+1)≠0

D(y)= X≠ ±1 , X∈(-∞;1)∪∪(-1;1)∪(1;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = ±1.

Две вертикальных асимптоты  - Х = -1 и Х = 1.    

3. Наклонная асимптота:

k = lim(+∞)Y(x0/x = lim(+∞)x³/(x³-x) =  1

b = lim(+∞)F(x) - k*x = x/(x²-1) = 0

y = x  - наклонная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

x³ = 0 . Нуль функции: y(0) = 0.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-1)∪(0;1).

Положительна: Y>0 - X∈(-1;0)∪(1;+∞;)  

6. Проверка на чётность.

Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x) ,  

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 3x/(x²-1) - 2*x⁴/(x-1)³ = x²*(x²-3)/(x-1)² = 0.  

x₁ =-√3 ,  x₂ = √3, x₃ = 0  - точки экстремумов.   (±1,73)

8. Локальный максимум: y(-√3) = -2.6, минимум: y(√3) = 2.6.  

При х=0 - минимум одного интервала совпадает с максимумом второго интервала - продолжает убывать.

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;-√3)∪(√3;+∞).  Убывает: X∈(-√3;-1)∪(-1;1)∪(1;√3).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 2*x*(x²+3)/(x²-1)³ = 0  

Точки перегиба при Х = 0 и Х = ±1.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-1;0)∪(1;+∞),

выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-1)∪(0;1);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.