Объяснение:

Дано:

МК —биссектриса угла NMP

NK— 8 см

Решение:

Так как трапеция равнобедренная то угол KPM= угол NMP, а угол PKN= угол MNK.

Пусть меньшие углы — угол KPM и угол NMP будет по х, тогда большие — угол PKN и угол MNK по 2х.

Найдем х.

Углы при одной бокоовой стороне трапеции в сумме дают 180°

Тогда:

Угол KNM+ угол NMP=180°

2x+x=180

3x=180

x=60

Тогда угол KPM и угол NMP по 60°, а угол PKN и угол MNK по 60°*2=120°

Рассмотрим ∆КNM

Так как КМ биссектриса угла NMP, то угол KMN=60°÷2=30°

Угол MNK=120°

Найдём угол NKM.

Сумма углов в треугольнике 180°, следовательно:

Угол NKM=180°–угол KMN–угол MNK=180°–30°–120°=30°

Получаем что ∆КNM равнобедренный с основанием КМ, следовательно NM=KN=8 см.

Рассмотрим ∆РКМ.

Так как трапеция равнобедренная её боковые стороны равны, следовательно КР=NM=8

Угол КРМ=60°

Так как КМ биссектриса угла NMP, то угол KMP=60°÷2=30°

Тогда угол PKM=180°–угол KMP–угол КРМ=180°–30°–60°=90°

Следовательно ∆РКМ прямоугольный.

По теореме если в прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в 30°, то данный катет равен половине гипотенузы. Следовательно: PM=2*KP=2*8=16.

Проведём высоты КЕ и NB из углов PKN и KNM соответственно к стороне PM.

КNBЕ – прямоугольник так как углы KЕB и NBЕ прямые (углы образованные высотами), следовательно:

ЕB=KN=8 см

ЕК=NB

Рассмотрим треугольники ∆KЕP и ∆NBM

Угол KЕP=NBM (углы образованные высотами)

Следовательно треугольники прямоугольные

ЕК=NB;

КР=NM;

Следовательно прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе.

Исходя из этого: ЕР=ВМ как соответственные катеты. Тогда ЕР+ВМ=2*ЕР

РМ=ЕВ+ЕР+ВМ=ЕВ+2*ЕР

Подставим известные значения, получим:

16=8+2*ЕР

8=2*ЕР

ЕР=4

Рассмотрим ∆КЕР.

КР=8

ЕР=4

Найдём ЕК.

По теореме Пифагора:

КР²=ЕР²+ЕК²

8²=4²+ЕК²

64=16+ЕК²

КК²=48

ЕК=√48

Sтрапеции=0,5*(а+b)*h

Где а и b основания трапеции, а h– высота.

Подставим значения:

S=0,5*(8+16)*√48=12√48=48√3 см²

КЕ делит МР в соотношении АР÷(АВ+ВМ)=4÷(16+4)=4÷20=1÷5

Ответ: S=48√3 см²; 1/5