1. Пусть задан треугольник и прямая , проходящая через точку пересечения медиан треугольника и пересекающая стороны и в точках и соответственно (см. вложение). см и см².
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит медианы в отношении , считая от вершины, поэтому
Пусть — коэффициент пропорциональности. Тогда .
Поскольку , то соответствующие углы при параллельных прямых и . Следовательно, (по двум углам). Тогда все соответствующие стороны треугольников и отрезки пропорциональны.
см
Коэффициент подобия:
Площади соответствующих подобных треугольников равны их коэффициенту подобия в квадрате:
см²
Ответ: 18 см; 32 см²
2. Пусть задан параллелограмм со стороной см и диагональю , перпендикулярной стороне , , и точкой пересечения диагоналей и .
Рассмотрим прямоугольный треугольник
см
Следовательно, см по свойству параллелограмма.
см
По свойству параллелограмма точка делит его диагонали на два равных отрезка, значит см и
Answers & Comments
1. Пусть задан треугольник
и прямая
, проходящая через точку
пересечения медиан треугольника
и пересекающая стороны
и
в точках
и
соответственно (см. вложение).
см и
см².
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит медианы в отношении
, считая от вершины, поэтому 
Пусть
— коэффициент пропорциональности. Тогда
.
Поскольку
, то соответствующие углы при параллельных прямых
и
. Следовательно,
(по двум углам). Тогда все соответствующие стороны треугольников и отрезки пропорциональны.
Коэффициент подобия:
Площади соответствующих подобных треугольников равны их коэффициенту подобия в квадрате:
Ответ: 18 см; 32 см²
2. Пусть задан параллелограмм
со стороной
см и диагональю
, перпендикулярной стороне
,
, и точкой
пересечения диагоналей
и
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
Следовательно,
см по свойству параллелограмма.
По свойству параллелограмма точка
делит его диагонали на два равных отрезка, значит
см и 
Рассмотрим прямоугольный треугольник
По теореме Пифагора:
см.
Тогда
см.
Ответ:
см;
см;
см²