1. Пусть задан треугольник и прямая , проходящая через точку пересечения медиан треугольника и пересекающая стороны и в точках и соответственно (см. вложение). см и см².
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит медианы в отношении , считая от вершины, поэтому
Пусть — коэффициент пропорциональности. Тогда .
Поскольку , то соответствующие углы при параллельных прямых и . Следовательно, (по двум углам). Тогда все соответствующие стороны треугольников и отрезки пропорциональны.
см
Коэффициент подобия:
Площади соответствующих подобных треугольников равны их коэффициенту подобия в квадрате:
см²
Ответ: 18 см; 32 см²
2. Пусть задан параллелограмм со стороной см и диагональю , перпендикулярной стороне , , и точкой пересечения диагоналей и .
Рассмотрим прямоугольный треугольник
см
Следовательно, см по свойству параллелограмма.
см
По свойству параллелограмма точка делит его диагонали на два равных отрезка, значит см и
Answers & Comments
1. Пусть задан треугольник и прямая , проходящая через точку пересечения медиан треугольника и пересекающая стороны и в точках и соответственно (см. вложение). см и см².
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит медианы в отношении , считая от вершины, поэтому
Пусть — коэффициент пропорциональности. Тогда .
Поскольку , то соответствующие углы при параллельных прямых и . Следовательно, (по двум углам). Тогда все соответствующие стороны треугольников и отрезки пропорциональны.
см
Коэффициент подобия:
Площади соответствующих подобных треугольников равны их коэффициенту подобия в квадрате:
см²
Ответ: 18 см; 32 см²
2. Пусть задан параллелограмм со стороной см и диагональю , перпендикулярной стороне , , и точкой пересечения диагоналей и .
Рассмотрим прямоугольный треугольник
см
Следовательно, см по свойству параллелограмма.
см
По свойству параллелограмма точка делит его диагонали на два равных отрезка, значит см и
Рассмотрим прямоугольный треугольник
По теореме Пифагора: см.
Тогда см.
см²
Ответ: см; см; см²