4x2−3x+1=0 ;

a=4 ;

b=−3 ;

c=1 .

Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:

 x1   =   −b+D−−√2⋅a ;      x2   =   −b−D−−√2⋅a ,  где  D=   b2−4ac .

D  называется дискриминантом.

По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.

Если  D<0  (отрицательный), то у уравнения нет действительных корней.

Если  D=0 , то у уравнения два равных корня.

Если  D>0  (положительный), то у уравнения два различных корня.

Приведённое квадратное уравнение (коэффициент при  x2  равен  1 , т. е.  а=1 )

x2+bx+c=0  можно решить с помощью теоремы Виета:  {x1⋅x2=cx1+x2=−b  

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения имеют  2  вида:

1. если  c=0 , то  ax2+bx=0 ;

2. если  b=0 , то  ax2+c=0 .

Неполные квадратные уравнения можно решать с помощью формул дискриминанта, но рациональнее выбрать специальные способы:

1.  ax2+bx=0  можно решить, разложив на множители (вынести за скобку  x )

 x⋅(ax+b)=0 .

 x=0   или  ax+b=0 .     Значит, один корень равен  0 , а второй корень  x=−ba  

(т. к. произведение двух чисел равно  0  только тогда, когда хотя бы один из множителей равен  0 ).  

2x2−30x=0;x(2x−30)=0;x=0,или2x−30=0;2x=30;x=15.  

Ответ:  x=0 ;   x=15 .

2.  ax2+c=0  можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.

ax2=−c ; (обе стороны делятся на  a )  x2=−ca .

 |x|=   −ca−−−√ .   Извлекая корень из правой части уравнения, получаем  x  по модулю.

Это значит, что

x1   =   −ca−−−√ ;

x2   =   −−ca−−−√ .

4x2−100=0;4x2=100∣∣:4x2=25;|x|=25−−√;  

из этого следует, что  x=5  или  x=−5 .

Ответ:  x1=5 ;    x2=−5 .

x2+36=0;x2=−36.  

У уравнения нет решения, т. к. квадратный корень из отрицательного числа не имеет смысла (также известно, что число во второй степени не может быть отрицательным).

Ответ: корней нет.