Ответ:

Объяснение:

Докажем методом математической индукции

1) при n=1

1=1(1+1)(2+1)/6=2*3/6=1 верно

2) допустим верность  равенства (здесь и далее имеется ввиду исходное равенство) при n=k

тогда

1²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6

3) проверим верность при n=k+1  

1²+...+k²+(k+1)²=(k+1)²+(k(k+1)(2k+1)/6)=(k+1)[k+1+(k(2k+1)/6)]=

=(k+1)[(k+1)6+k(2k+1)]/6=(k+1)[6k+6+2k²+k]/6=(k+1)[2k²+7k+6]/6=

' разложим на множители 2k²+7k+6 по формуле

'  ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

' k₁₋₂=(-7±√(49-48))/4=(-7±1)/4∈{-1.5; -2}

' 2k²+7k+6=2(k+2)(k+1,5)=(k+2)(2k+3)

=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=

' так как n=k+1 то

= n(n+1)(2n+1)/6  верно

тогда по методу математической индукции равенство верно для любого n