Ответ:     x > 1   або   xЄ ( 1 ; + ∞ ) .

Объяснение:

  f( x ) = x³ + 3x ;    φ( x ) = 1 - x ;   нерівність  f( φ( f( x ))) < f( φ( 4 )) ;.

  Запишемо складені функції :

   1)   φ( f( x )) = 1 - ( x³ + 3x ) = - x³ - 3x + 1 ;

         f( φ( f( x ))) = (- x³ - 3x + 1 )³ + 3*(- x³ - 3x + 1 ) ;

   2)  φ( 4 ) = 1 - 4 = - 3 ;

        f( φ( 4 )) = f(- 3 ) = (- 3 )³ + 3*(- 3 ) = - 27 - 9 = - 36 .

 Підставимо функції у задану нерівність :

 (- x³ - 3x + 1 )³ + 3*(- x³ - 3x + 1 ) < - 36 ;

 заміна    t = - x³ - 3x + 1 ;   маємо :

        t³ + 3t + 36 < 0 ;  підбір дає нам корінь  t = - 3 , тоді

     ( t + 3 )( t² - 3t + 12 ) < 0 .

  Дискримінант 2 - го множника від"ємний , а  а > 0 , тому він

для будь- яких  х приймає тільки додатні значення . Поділимо

на нього нерівність :

  t + 3 < 0 .  Повернемося до змінної  х :

  - x³ - 3x + 1  + 3 < 0 ;  або

  x³ + 3x - 4 > 0 . Тричлен  має корінь  х = 1  ( теж підбором ) :

  ( x - 1 )( x² + x + 4 ) > 0 .  

Дискримінант 2 - го множника від"ємний , а  а > 0 , тому він

для будь- яких  х приймає тільки додатні значення . Поділимо

на нього нерівність :

      x - 1 > 0 ;

         x > 1  ;    xЄ ( 1 ; + ∞ ) .

В - дь :       x > 1   або   xЄ ( 1 ; + ∞ ) .