Дано:

точки

А(-5; 1)   В(-1; -1)    С(-2; -3)   В(-6; -1)

Доказать, что АВСD - прямоугольник.

------------------------------------------------------------

Доказательство:

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Докажем сначала, что АВСD - параллелограмм.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Уравнение прямой АВ

4(y - 1) = -2(x + 5)

4y + 2x + 6 = 0

или

2у + х + 3 = 0

или

у = -0,5х -1,5.

Угловой коэффициент прямой АВ равен k = - 0.5

Уравнение прямой CD

-4(y + 3) = 2(x + 2)

4y + 2x + 16 = 0

или

2у + х + 8 = 0.

или

у = -0,5х - 4.

Угловой коэффициент прямой CD равен k = - 0.5

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны

Следовательно, АВ ║ CD

Уравнение прямой ВС

-(y + 1) = -2(x + 1)

y - 2x - 1 = 0

или

у = 2х + 1.

Угловой коэффициент прямой BC равен k = 2

Уравнение прямой AD

(y + 1) = 2(x + 6)

y - 2x + 11 = 0

или

у = 2х - 11.

Угловой коэффициент прямой AD равен k = 2

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны

Следовательно, BC ║ AD

У четырёхугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны:  АВ ║ CD и BC ║ AD, следовательно,

АВСD - параллелограмм.

Докажем, что прямые АВ и ВС перпендикулярны.

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно - 1.

Угловой коэффициент прямой АВ равен k₁ = - 0.5

Угловой коэффициент прямой BC равен k₂ = 2

Произведение угловых коэффициентов прямых АВ и ВС

k₁ · k₂ = -0.5 · 2 = -1

Следовательно,   АВ ⊥ ВС

Вычисляя произведение угловых коэффициентов прямых ВС и СD , а также прямых CD и AD, получим, что

ВС ⊥ СD   и  CD ⊥AD

То есть все углы параллелограмма АВСD прямые.

Следовательно, АВСD - прямоугольник