znanija.com/task/37828383

Найдите значения выражения  (3sinα +6cosα)/(  (3sinα +cosα) ,

если ctg( α/2)=2.

Ответ:  значения выражения;  2

Пошаговое объяснение: sinα=2sin(α/2)*cos(α/2) / (sin²(α/2)+cos2(α/2) ) =

=2ctg(α/2) / (1+ctg²(α/2));cosα=(cos2(α/2) -(sin²(α/2) )/ (sin²(α/2)+cos2(α/2) ) =(cos2(α/2) -(sin²(α/2) )/ (sin²(α/2)+cos2(α/2) ) = (ctg²(α/2) -1)/ (1+ctg²(α/2)) .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

sinα =2*2/(1+2²) = 4/5 =0,8 ;  cosα = (2² -1) /(1+2²) = 3/5  = 0,6 .

ctgα = cosα/sinα = 3/4 .

(3sinα +6cosα)/(3sinα +cosα)= (3*0,8+6*0,6)/(3*0,8+0,6) =6/3 = 2.

ИЛИ по другому

(3sinα +6cosα)/(3sinα +cosα)= (3+6ctgα)/(3+ctgα) =(3+6*3/4) /(3+3/4) =2

т.к. ctg(α) = (ctg²(α/2)-1) / 2ctg(α/2) = (2²-1)/2*2 =3/4 .

* * * ctg(2β) =cos(2β) /sin2β=(cos²β -sin²β) /2sinβ*cosβ = (ctg²β-1)/2ctgβ ;

если β=α/2, то ctgα=ctg(2*α/2)=(ctg²(α/2) -1) /2ctg(α/2)  * * *