Verified answer

На эллипсе x² + 4y² = 4 даны 2 точки: А(-√3; (1/2)) и В(1; (√3/2)).

Примем третью точку треугольника на этом же эллипсе С(x; y).

Площадь треугольника по координатам выражается формулой:

S = (1/2) |(x(A) - x)    (y(A) - y)|

             |(x(B) - x)    (y(B) - y)|.

Подставим известные координаты точек А и В.

S = (1/2) (-√3 - x)((√3/2) - y) - ((1/2) - y)(1 - x).

После упрощения получаем:

S = ((1 -√3 )/4)x + ((1 +√3)/2)y - 1.

Выразим уравнение эллипса через переменную x.

y = +-√(4 - x²)/2, но так как точка С в треугольнике с максимальной площадью лежит в отрицательной полуплоскости, то для неё принимаем y = -√(4 - x²)/2 и подставляем в полученное  уравнение площади.

S = ((1 -√3 )/4)x + ((1 +√3)/2)(-√(4 - x²)/2) - 1. Раскрыв скобки имеем:

S = ((1 -√3 )/4)x - ((1 +√3)/4)(4 - x²) - 1.

Находим производную этой функции и приравниваем её нулю для определения экстремума.

S' = ((1 + √3)/(4√(4 - x²))x + (1/4)( 1 - √3) = 0.

Результат: х = √(2 - √3) ≈ 0,51764.

Координата у = -(√(2 + √3))/2 ≈ -0,96593.

Ответ: площадь S = 1 + √2 ≈ 2,41421.