Ответ:

1. Угол NMK=60°

2. Угол AMB = 60°

3. Угол BAC = 30°

4. MA=NA=20

Пошаговое объяснение:

1. Дочертим отрезок OK, получим два треугольника MON и MOK

так как касательная и радиус опущенный в точку касания перпендикулярны, треугольники являются прямоугольными.

Кроме того, они являются равными исходя из признака равенства прямоугольных треугольников по катету (ON=OK) и гипотенузе (OM)

Следовательно углы NMO и KMO равны.

В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, как видно ON=1/2 OM по условию, значит углы NMO и  KMO  по 30°, а NMK равен их сумме то есть 60°

2. Аналогично первому заданию

Дочертим отрезки OB и OA, получим два треугольника MOB и MOA

так как касательная и радиус опущенный в точку касания перпендикулярны, треугольники являются прямоугольными.

Кроме того, они являются равными исходя из признака равенства прямоугольных треугольников по катету (OB=OA) и гипотенузе (OM)

Следовательно углы BMO и AMO равны.

В прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, как видно OB=1/2 OM, значит углы BMO и  AMO  по 30°, а AMB равен их сумме то есть 60°

3. Соединим  О и B, в полученном треугольнике AOB, стороны OA и OB равны, как радиусы окружности, а AB=OA по условию, следовательно указанный треугольник равносторонний, имеет все углы по 180/3=60°

Угол OAC прямой, так как радиус опущенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Стало быть, угол BAC равен разности углов OAC и OAB:

90-60=30°

4. Соединим точки O и N, получим четырехугольник OMAN, его углы A прямой, M и N прямые, так как радиус опущенный в точку касания перпендикулярен касательной, а угол O равен 360-90-90-90=90°

получаем четырех угольник, с равными сторонами (OM=ON как радиусы), то есть квадрат.

Из чего ясно, что MA=NA=20.