Verified answer

Ответ:

Применим логарифмические тождества (a>0, a≠1, b>0, c>0, d>0, d≠1):

1) logₐa=1; 2) logₐb+logₐc=logₐ(b·c); 3) logₐb-logₐc=logₐ(b:c);

4) logₐcᵇ=b·logₐc; 5) 6) 7)  

Используем свойства логарифмической функции:

1) Если a>1 и b>c, то logₐb>logₐc.

Отсюда, если a>1 и b>a, то logₐb>logₐa=1 и

если a>1 и b<a, то logₐb<logₐa=1.

2) Если a<1 и b>c, то logₐb<logₐc.

3. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

д)

4. Вычислите:

5. Сравните числа:

а) Применим сравнение 1):

log₇5<1 и log₅6>1 ⇒ log₇5<1<log₅6 ⇒ log₇5<log₅6.

б) Применим сравнение 1):

в) Применим сравнение 2):

г) Применим сравнение 1):

6. Доказать иррациональность числа log₃4.

Предположим противное, то есть log₃4 рациональное число. Тогда по определению рационального числа log₃4 представимо в виде m/n, то есть

log₃4 = m/n,

где m∈Z и n∈N. Но log₃4>log₃3>1 и n∈N, поэтому m∈N.

Далее, по определению из log₃4 = m/n получим:

или

Но любая натуральная степень числа 4 - чётное число, а любая натуральная степень числа 3 - нечётное число.

Получили противоречие: чётное число = нечётное число.

Значит, log₃4 - иррациональное число.