" В треугольник с углами 62° и 78° вписан круг, который касается сторон треугольника в точках k, p и t. найдите углы треугольника kpt."

Объяснение:

Oкр O (r) вписана в ΔАВС ,∠А=62°, ∠В=78°

Найти углы ΔКРТ

Решение .

По т. о сумме углов треугольника ∠С=180°-78°-62°=40°.

По свойству радиуса , проведенного в точку касания ОК⊥АВ, ОР⊥ВС, ОТ⊥АС. Сумма углов 4-х угольника равна 360°.Поэтому

• в 4-х угольнике АКОТ  :∠КОТ=360°-2*90°-62°=118° ;

• в 4-х угольнике ВРОК  :∠КОР=360°-2*90°-78°=102° ;

• в 4-х угольнике СРОТ  :∠РОТ=360°-2*90°-40°=140° .

Получившиеся треугольники с общей вершиной О -являются равнобедренными , т.к ОК=ОР=ОТ=r ⇒ углы при основании равны :

• ΔОКТ , ∠К=∠Т=(180°-118°):2=31° ;

• ΔОРК , ∠К=∠Р=(180°-78°):2=39° ;

• ΔОТР , ∠Т=∠Р=(180°-140°):2=20° .

Поэтому углы ΔКРТ :∠К=70° ,∠Р=59°, ∠Т=51°