Verified answer

  В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной Ѕ проведена высота ЅО. На отрезке ЅО взята точка К так, что ЅК:КО=1:3   Известно, что боковые ребра образуют с основанием углы, равные π/6, а расстояние от точки К до боковой грани составляет 3/√7. Найдите объём пирамиды.

Ответ:432 (ед. объема)

Пошаговое объяснение (подробно):

   В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания ( для треугольной - в точку пересечения медиан).

V(SABC)=Ѕ(ABC)•SO/3.

Примем высоту ЅО=h

π/6=30°

АО=SO•сtg30°=h•√3

ОМ=AO/2=0,5h√3 (из свойства медиан).

Из отношения ЅК:КО=1:3 (дано) находим SO=4SK

Расстояние от точки (К) до плоскости (грани СSВ) равно длине проведенного к ней перпендикуляра.

Проведём ОЕ║КН перпендикулярно (SCB), т.Е принадлежит высоте SM ∆ СЅВ.

⊿ SOE~⊿ SKH

Из подобия следует ЅО:ЅК=ОЕ:КН⇒

ОЕ=4КН=12/√7

⊿ SOE~⊿ EOM

Из ⊿ ЅОМ по т.Пифагора

ЅМ²=ЅО²+ОМ²=h²+3h²/4=7h²/4⇒

SM=√(7h²/4)=h√7/2

⊿ SOM~⊿ SOE  

Из подобия следует ЅО:ОЕ=ЅМ:ОМ

h:(12/√7)=(h√7/2):(h√3/2) ⇒

h=4√3 =(SO)

АМ=3•ОМ=3•0,5•(4√3)• =18

Площадь равностороннего треугольника через высоту

S(ABC)=AM²/√3=108√3

V(SABC)=[(108√3)•4√3]:3=432 (ед. объёма).