Verified answer

Задание 71.

Чтобы трёхчлен был положительным при всех значениях х надо выполнить 2 условия:

1 - коэффициент перед х² должен быть положительным,

2 - дискриминант должен быть отрицательным.

По первому условию ветви параболы направлены вверх, по второму - вершина параболы будет выше оси Ох, то есть все значения будут положительны.

По первому условию определяем к - 2 > 0,  k > 2.

Определяем второе.

D = 64 - 4*(к - 2)*(к + 4) = 64 - 4(к² - 2к + 4к - 8) = -4k² - 8k + 96 < 0.

Разделим на -4: к² + 2k - 24 > 0,     D = 4 + 4*24 = 100,   √D = ±10.

k1 = (-2 - 10)/2 = - 6 (не принимаем по первому условию).

k2 = (-2 + 10)/2 = 4.

Условие выполняется при k > 4.

Наименьшее целое - это к = 5.

Ответ: к = 5.