Множество значений арккосинуса есть ∈[0;π] Множество значений акстангенса ∈[-π/2; π/2] для равенства они должны принимать значения в общем промежутке: [0; π/2), при этом Х может принимать значения из отрезка [-1;1] Два числа из промежутка [0; π/2) ( в этом промежутке сosx>0) равны только тогда, когда равны их косинусы и исходное уравнение равносильно уравнению: cos(arctgx)=cos(arccosx) Левая часть: сos(arctgx)=√(1/(1+tg²(arctgx)))=√(1/(1+x²)) Правая часть: сos(arc cosx)=x Получаем уравнение: х=√( 1/(1+х²) ) x²=1/(1+x²) x^4 +x² -1=0 y=x² y²+y-1=0 D=1+4=5 y1=(-1+√5)/2 ( y2=(-1-√5)/2 x2 - нет дейст. реш.) x1=√((√5-1)/2) >0 (x2=-√... <-1 ∉[-1;1]) ответ √((√5-1)/2)
Answers & Comments
Verified answer
Множество значений арккосинуса есть ∈[0;π]Множество значений акстангенса ∈[-π/2; π/2]
для равенства они должны принимать значения в общем промежутке:
[0; π/2), при этом Х может принимать значения из отрезка [-1;1]
Два числа из промежутка [0; π/2) ( в этом промежутке сosx>0)
равны только тогда, когда равны их косинусы и исходное уравнение равносильно уравнению:
cos(arctgx)=cos(arccosx)
Левая часть:
сos(arctgx)=√(1/(1+tg²(arctgx)))=√(1/(1+x²))
Правая часть:
сos(arc cosx)=x
Получаем уравнение:
х=√( 1/(1+х²) )
x²=1/(1+x²)
x^4 +x² -1=0 y=x²
y²+y-1=0
D=1+4=5
y1=(-1+√5)/2 ( y2=(-1-√5)/2 x2 - нет дейст. реш.)
x1=√((√5-1)/2) >0 (x2=-√... <-1 ∉[-1;1])
ответ √((√5-1)/2)