Помогите решить диф. уравнение методом Бернули (y=uV; y'=u'V+uv'). Created by ilya9856. matematika-ru

Вводим замену:Дифференцируем:Подставляем в наше уравнение выражения для и .Выносим за скобкиc=0Ф(z)ФФ+cФ)=Ф

Помогите решить диф. уравнение методом Бернули (y=uV; y'=u'V+uv')...

ilya9856 @ilya9856

August 2022 1 5 Report

Помогите решить диф. уравнение методом Бернули (y=uV; y'=u'V+uv')

Answers & Comments

sintiyaberk

Verified answer

$y'-2xy+1=0$
$y'-2xy=-1$
Вводим замену: $y=uv$
Дифференцируем:
$y'=u'v+uv'$
Подставляем в наше уравнение выражения для $y$ и $y'$ .
$u'v+uv'-2xuv=-1$
Выносим $u$ за скобки
$u'v+u(v'-2xv)=-1$
$v'-2xv=0$
$\frac{dv}{v}-2xdx=0$
$\int\limits{\frac{dv}{v} } - \int\limits2xdx=0$
$ln|v|-2* \frac{x^2}{2}=c$
c=0
$ln|v|=x^2$
$v=e^{x^{2}}$
$\frac{du}{dx}*e^{x^2} =-1$
$du=-e^{-x^2}dx$
$u= -\int\limits e^{-x^2}+c$
$\int\limits e^{-x^2}dx=[z= \sqrt{2}x; x^2= \frac{z^2}{2}; dx= \frac{1}{ \sqrt{2} }dz]= \int\limits e^{ -\frac{z^2}{2} }* \frac{1}{ \sqrt{2} }dz=$ $\frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits e^{- \frac{z^2}{2} }dz= \frac{ \sqrt{2 \pi } }{ \sqrt{2}}$ Ф(z) $+c= \sqrt{ \pi }$ Ф $( \sqrt{2}x )+c$
$u=- \sqrt{ \pi }$ Ф $( \sqrt{2}x )$ +c
$y=uv=(- \sqrt{ \pi }$ Ф $( \sqrt{2} x)+c$ ) $e^{x^2}$ = $- \sqrt{ \pi }e^{x^2}$ Ф $( \sqrt{2}x )+ce^{x^2}$

2 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social