oganesbagoyan

Verified answer

1.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁; K  ∈ [AB]  (AK =KB _не важно)
---

Соединить точка K с вершинами C  и C₁
∠CKC₁ будет искомым углом (KC проекция наклонной KC₁ на плоскости ABC). * * * ∠CKC₁ =( KC₁^(ABCD) )_символически * * *
-----------
2.
---
Дано: ABCD параллелограмм ,AK⊥(ABCD) ,KD⊥DC.
а)
док-ть  ABCD прямоугольник.
DC ⊥ KD⇒DC ⊥ DA(теорема трех перпендикуляров) ;
∠ADC (одновременно и ∠A, ∠B , ∠C) = 90°.
б)  
док-ть (KAD) ⊥(ABC) 
Плоскость KAD проходить через прямую КA, которая перпендикулярна плоскости  ABC (та же что плоскости ABCD) , значить плоскость KAD перпендикулярна плоскости  ABC
* * * (KAD) ⊥(ABC)   * * *
в)
AK =8 см ,KD=10 см, ∠CAD =60° ; AC -?
---
Из ΔDAK  по теореме Пифагора :
DA=√(KD²-AK²) =√(10²-8²) =√(100-64) =√36 =6 (см).
DA =AC/2 (как катет против угла ∠ACD =30°) ⇒
AC=2*DA=2*6 см = 12 см.
-----------
3.
∠ABC =90°, [AB] ∈ α , AC=17см , AB=15 см ,∠CBH =45°
(∠(ABC ,α)_уголь между плоскостями ABC и α).
CH ⊥α , CH - ?
---
Из ΔCBH :  CH =BC*√2/2 (т.к.∠CBH =45°=∠BCH ) ;
BC  определяем из ΔABC по теореме Пифагора:
BC =√(AC² -AB²) =√(17² -15²)=√((17 -15)(17 -15)) =√(2*32) =8 (см).
CH =BC*√2/2 =8 см *√2/2 =4√2 см .
-----------
4.
AB =BC  , ∠ABC =60° ; AD=DC ,∠ADC =90° ;
двугранный угол ∠BACD =90° ; 
tqβ=tq(∠BADC) -?
(тангенс двугранного угла между плоскостями BAD и ADC) .
---
Пусть M -середина общего основания (AC)   треугольников ABC и ADC.   BM⊥ AC и DM⊥ AC , ∠BACD =∠BMD =90°.
* * *ΔABC - равносторонний (равнобедренный и ∠ABC =60°) , а прямоугольный треугольник ΔADC -равнобедренный * * *
BM =(AC√3)/2 .
Проведем MN ⊥ AD  (N∈[AD]) ;
Ясно,что∠BNM =β (BM⊥AD _теорема трех перпендикуляров).
MN =AM*sin45°=(AC/2)*(1)/√2=AC/2√2.
tqβ =BM : MN = (AC√3)/2 : AC/2√2 =√6.
-----------
5.
Дано: куб ABCDA₁B₁C₁D₁ ; AB =8 см , BK=KB₁, A₁F=FB₁ .
---
Обозначаем :
плоскость A₁DC→(A₁DC) , * * * (A₁DC) та же что (A₁DCB₁)* * * плоскость A₁DCB₁→(A₁DCB₁) , плоскость BB₁C₁C→(BB₁C₁C).

Площадь сечения проходящего через точки  K и F ⊥(A₁DC).
Проведем  в плоскости (BB₁C₁C) K N ⊥ B₁C (N∈ [B₁C₁]) . Ясно,что KN || BC₁ , но BC₁⊥ (A₁DCB₁) ⇒ KN ⊥ (A₁DCB₁) .
Плоскость  (FKN) ⊥( A₁DCB₁) _проходит через KN ⊥ (A₁DCB₁).
ΔFKN и будет сечение.
ΔFKN-равносторонний со стороной a=(AB√2)/2=8√2)/2 см=4√2 см. 
S=(a²√3)/4 =8√3 см².