Замечаем, что x³-1=(x-1)(x²+x+1), представляем дробь 1/(x³-1) в виде суммы двух дробей A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+x+1). Умножив первую дробь на x²+x+1, а вторую на (x-1), получим уравнение (Ax²+Ax+A+Bx²-Bx+Cx-C)/(x³-1)=1/(x³-1). Приравнивая числители, получаем x²(A+B)+x(A-B+C)+(A-C)=x. Так как справа членов с x² нет, то A+B=0, Для коэффициента при следует x: A-B+C=1. Третье же уравнение имеет вид A-C=0. Решая эти три уравнения, находим A=1/3, B=-1/3, C=1/3. Тогда x/(x³-1)=1/(3(x-1))-(x-1)/(3(x²+x+1)), и интеграл распадается на 2: ∫=1/3*∫dx/(x-1)-1/3*∫(x-1)dx/(x²+x+1). Первый интеграл равен 1/3*ln(x-1), а так как (x-1)dx=1/2*d(x²+x+1)-3/2*dx, то второй интеграл распадается на 2: 1/2∫d(x²+x+1)/(x²+x+1)-3/2∫dx/(x²+x+1). Здесь первый интеграл равен 1/2*1/ln(x²+x+1), а для нахождения второго выделим в знаменателе полный квадрат: ∫dx/(x²+x+1)=∫dx/((x+1/2)²+3/4)=∫d(x+1/2)/((x+1/2)²+(√3/2)²). Это уже "табличный" интеграл, предлагаю дописать ответ самостоятельно.
Answers & Comments
Verified answer
Замечаем, что x³-1=(x-1)(x²+x+1), представляем дробь 1/(x³-1) в виде суммы двух дробей A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+x+1). Умножив первую дробь на x²+x+1, а вторую на (x-1), получим уравнение (Ax²+Ax+A+Bx²-Bx+Cx-C)/(x³-1)=1/(x³-1). Приравнивая числители, получаем x²(A+B)+x(A-B+C)+(A-C)=x. Так как справа членов с x² нет, то A+B=0, Для коэффициента при следует x: A-B+C=1. Третье же уравнение имеет вид A-C=0. Решая эти три уравнения, находим A=1/3, B=-1/3, C=1/3. Тогда x/(x³-1)=1/(3(x-1))-(x-1)/(3(x²+x+1)), и интеграл распадается на 2: ∫=1/3*∫dx/(x-1)-1/3*∫(x-1)dx/(x²+x+1). Первый интеграл равен 1/3*ln(x-1), а так как (x-1)dx=1/2*d(x²+x+1)-3/2*dx, то второй интеграл распадается на 2: 1/2∫d(x²+x+1)/(x²+x+1)-3/2∫dx/(x²+x+1). Здесь первый интеграл равен 1/2*1/ln(x²+x+1), а для нахождения второго выделим в знаменателе полный квадрат: ∫dx/(x²+x+1)=∫dx/((x+1/2)²+3/4)=∫d(x+1/2)/((x+1/2)²+(√3/2)²). Это уже "табличный" интеграл, предлагаю дописать ответ самостоятельно.