Ответ:

a) x∈(-∞;-2]∪(-1;1)∪[7;+∞)

b) x∈(0;1]

c) x∈[0;π²/4]∪[(-π/2+2kπ)²; (π/2+2kπ)²],  k∈N

Пошаговое объяснение:

a) y=arcsin[(5x+13)/(x²-1)]

x²-1≠0⇒x≠±1

-1≤(5x+13)/(x²-1)≤1

1) (5x+13)/(x²-1)≤1

1-(5x+13)/(x²-1)≥0

[(x²-1)-(5x+13)]/(x²-1)≥0

(x²-5x-14)/(x²-1)≥0⇔(x²-5x-14)·(x²-1)≥0, x≠±1

(x+2)(x+1)(x-1)(x-7)≥0

Решая методом интервалов, имеем

x∈(-∞;-2]∪(-1;1)∪[7;+∞)

b) y=arcsin√(1-x)+arccos√x+∛(x-1)+lnx

1) arcsin√(1-x) имеет смысл при 1-x≥0 ∩ √(1-x)≤1⇒x∈[0;1]

arccos√x имеет смысл при x≥0 ∩ √x≤1⇒x∈[0;1]

∛(x-1)  имеет смысл при ∀x∈R

lnx  имеет смысл при x>0⇒x∈(0;+∞)

[0;1]∩[0;1]∩R∩(0;+∞)=(0;1]

c)

√x имеет смысл при x≥0

имеет смысл при cos√x≥0

cost≥0⇒-π/2+2kπ≤t≤π/2+2kπ

-π/2+2kπ≤√x≤π/2+2kπ

при к отрицательном решения нет, так как 0≤√x

при к=0,   0≤√x≤π/2⇒0≤x≤(π/2)²⇒0≤x≤π²/4

при к≥1  -π/2+2kπ≤√x≤π/2+2kπ⇒(-π/2+2kπ)²≤x≤(π/2+2kπ)²

x∈[0;π²/4]∪[(-π/2+2kπ)²; (π/2+2kπ)²],  k∈N

d)

2kπ≤x²≤π+2kπ, k=0;1;2;3;4;...

при к=0, х²≤π=>-√π≤х≤√π

при к €N, решаем двойные неравенства вида 2kπ≤x²≤π+2kπ, которые по сути являются системой неравенств 2kπ≤x², x²≤π+2kπ. Решением их является пересечение множеств их решений