Verified answer

1) x    y    z    B      32  Определитель

  1   -2    1    1  

 -5   1    0    3  

 -4   -11    3    20  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:      

1   -2    1     -32 Определитель

3    1    0    

20   -11    3    

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:      

1   1    1    -64 Определитель

-5   3    0    

-4   20    3    

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:      

1   -2    1    -64 Определитель

-5    1    3    

-4   -11    20    

x = -32/ 3 = -1  

y = -64/ 32 = -2  

z = -64/ 32 = -2.

2)  Дано уравнение прямой как линия пересечения плоскостей

x + 5y - 4 = 0

2x - y + z + 2 = 0.

В качестве опорной точки берём точку, лежащую в плоскости Oxy, то есть задаём значение z = 0.

x + 5y - 4 = 0 умножим на -2:  -2x - 10y + 8 = 0,

2x - y + 2 = 0                               2x - y + 2 = 0.

Сложим два уравнения : -11y + 10 = 0,  отсюда y = -11/-10 = 11/10.

x =  4 -5y = 4 - 5*(11/10) = -15/100 = -3/2.

Получили точку на прямой ((-3/2); (11/10); 0).

Теперь найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей (это коэффициенты в уравнениях плоскостей: (1; 5; 0) и (2; -1; 1)).

 i         j       k |       i        j

1       5       0 |     1        5

2      -1        1 |      2       -1    =   5i - 0 - 1k - 1j - 0 - 10k = 5i - 1j - 11k.

Нашли направляющий вектор (5; -1; -11).

Получаем каноническое уравнение прямой по точке ((-3/2); (11/10); 0) и направляющему вектору:  (5; -1; -11).

(x + (3/2))/5 = (y - (11/10))/(-1) = z/(-11).

4) Координаты вектора а(1; 4; 2).

Примем координаты вектора х(1b; 4b; 2b).

Скалярное произведение их равно 7.

То есть 1*1b + 4*4b + 2*2b = 7,

21b = 7, отсюда коэффициент b = 7/21 = 1/3.

Получаем координаты вектора х((1/3); 4/3; (2/3)).