Делим обе части неравенства на a , в этом случае знак неравенства не меняется
Поскольку ветви параболы смотрят вверх, в данном случае неравенство либо выполняется при любых действительных x (в случае когда ), либо при тех x, которые лежат левее наименьшего корня и правее наибольшего корня параболы. (, либо если , все x удовлетворяют неравенству помимо единственного корня). Понятно, что в этом случае всегда найдется значение , что удовлетворяет данному неравенству.
Как видим, этот случай нам не подходит.
2)
Тут, очевидно, также можно взять , что удовлетворяет неравенству.
3)
В данном случае, при делении на a, неравенство меняет знак на противоположный.
В данном случае, все решения неравенства лежат между корнями параболы, в том случае, если корни существуют и их ровно два
.
Таким образом, все решения неравенства по модулю не превосходят двух, в том случае, когда наибольший из корней параболы не превосходит , а наименьший из корней параболы не меньше , а вершина параболы лежит строго между -2 и 2. ( Смотрите рисунок)
Таким образом, имеем следующие условия:
1.
При любом
2.
Поскольку
решением является
3.
Учитывая, что решением является :
Пересекая с предыдущим решением имеем: ∈[-2; -0.5]
4)
Поскольку
1.
2.
Таким образом:
пересечем данный промежуток с ∈[-2; -0.5].
Очевидно, что
Cравним:
и
и
Возводим в квадрат:
То есть :
А значит, пересечение данных промежутков, это сам промежуток ∈[-2; -0.5] он и является решением.
Yashenko457
Почему вершина должна лежать строго между -2 и 2?
Yashenko457
И обязательно ли делить неравенство на a?
antonovm
ну если вершина не лежит в этом интервале , то не все решения неравенства в него попадут , делить на а необязательно , но это приводит к параболе с a = 1 , а это удобно и особенно при решении уравнений ( не надо рассматривать несколько случаев )
OneGyrus
В голову пришел другой путь, сделаем подстановку : x = (t+2)/4 , теперь оба корня для t должны лежать от 0 до 1 . Проверяем случай t= 0 как отдельный, а потом делаем подстановку : r=1/t , умножаем обе части уравнения на t^2 , и вот теперь должно быть r>=1 , то есть оба корня должны быть больше единицы, наконец, делаем еще одну подстановку: r=f-1 >=0 ,
OneGyrus
и тут наконец можно применить заветную теорему Виета : произведение корней положительно, так как они одного знака, а поскольку они одного знака, то их сумма должна быть положительна.
OneGyrus
Все это можно упихнуть в одну замену, только предварительно разобрав случай x=1/2
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
∈[-2; -0.5]
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим 3 случая .
1)
Делим обе части неравенства на a , в этом случае знак неравенства не меняется
Поскольку ветви параболы смотрят вверх, в данном случае неравенство либо выполняется при любых действительных x (в случае когда
), либо при тех x, которые лежат левее наименьшего корня и правее наибольшего корня параболы. (
, либо если 
, все x удовлетворяют неравенству помимо единственного корня). Понятно, что в этом случае всегда найдется значение 
, что удовлетворяет данному неравенству.
Как видим, этот случай нам не подходит.
2)
Тут, очевидно, также можно взять
, что удовлетворяет неравенству.
3)
В данном случае, при делении на a, неравенство меняет знак на противоположный.
В данном случае, все решения неравенства лежат между корнями параболы, в том случае, если корни существуют и их ровно два
Таким образом, все решения неравенства по модулю не превосходят двух, в том случае, когда наибольший из корней параболы не превосходит
, а наименьший из корней параболы не меньше 
, а вершина параболы лежит строго между -2 и 2. ( Смотрите рисунок)
Таким образом, имеем следующие условия:
1.
При любом
2.
Поскольку
3.
Учитывая, что
решением является : 
Пересекая с предыдущим решением имеем:
∈[-2; -0.5]
4)
Поскольку
1.
2.
Таким образом:
пересечем данный промежуток с
∈[-2; -0.5].
Очевидно, что
Cравним:
Возводим в квадрат:
То есть :
А значит, пересечение данных промежутков, это сам промежуток
∈[-2; -0.5] он и является решением.