Verified answer

p^2+q^2<20

pq<22

Вспомним два сdойства неравенсв 1. a>b если k>0 то k*a>k*b 2. a<b c<d  то (a+c)<(b+d)

2*pg < 2*22 и складываем с первым

p^2+2pq+q^2<20+44

(p+q)^2<64   лево и право положительные значит можно взять корень

!p+q!<8

Значит 0 1 2 3 4 5 6 7 итого 8 значений так модуль принимает только положительные значения

Теперь осталось проверить и подобрать пары чисел для ответа 

!p+q!   0      1      2    3      4     5     6        7

p,q     0-0  0-1  0-2  0-3   0-4  2-3  3-3     упс

При 7 чтото пошло не так !p+q!=7  это p+q=7  p+q=-7 рассмотрим первое

q=p-7 посмотрим первое неравенство p^2+q^2=p^2+(p-7)^2=p^2+p^2-14p+49=2p^2-14p+49 это парабола ветви вверх значит минимум в точке -b/2a = -(-14)/4=7/2 и q=7-7/2=7/2  минимум (7/2)^2+(7/2)^2=49/2=24.5 всегда больше 20 (при p+q=-7 аналогично) тем самым при !p+q!=7 никогда не выполняется 

============================

но можно обратить внимание (спасибо Denik777)

p² + q² ≥2pq (p²-2pq+q²=(p-q)²≥0)
p²+2pq+q²≤ p²+q²+p²+q²

(p+q)²≤2(p²+q²)<40

!p+q!<√(40)

Целочисленные значения !p+q!≤6
0 (0 0)  1 (0 1)  2 (0 2 )  3 (0 3) 4 (0 4) 5 (2 3)  6 (3 3)
Значение и одна из пар решений