Verified answer

 В прямоугольнике ABCD площади 1 точки P, Q, R и S - середины сторон, T - середина отрезка RS. Какова площадь треугольника PQT?  (рисунок ниже)

 Дано:

АВCD - прямоугольник

DR=RC=AP=PB

AS=SD=CQ=QB

ST=TR

S прямоугольника ABCD = 1

Найти S∆PQT

Решение:

 1)Пусть а - длина прямоугольника

b - ширина его

ab = S

ab = 1

2)Соединим последовательно середины сторон P, Q, R, S  и получим 4 равных треугольника ∆SDR = ∆RCQ = ∆QBP = ∆ASP (по двум равным сторонам и прямому углу между ними)

Найдём общую площадь этих треугольников.

S₁ = 4*1/2 *а/2 *в/2=ав/2 = 1/2

3)Из равенства треугольников ∆SDR = ∆RCQ = ∆QBP = ∆ASP следует равенство сторон SR=RQ=QP=PS.

Значит, SPQR - ромб.

Теперь найдём площадь ромба SPQR, для этого от площади всего прямоугольника 1 отнимем сумарную площадь угловых треугольников 1/2.

1 - 1/2 = 1/2

4) В ромбе через точку проведём прямую TM║PS и QR - сторонам ромба.

Получим 4 равных треугольника ∆PST=∆MPT=∆QMT=∆QTR(по трём равным сторонам).

5) 1/2 : 4 = 1/8 - площадь каждого из этих треугольников.

6) И, наконец, найдём площадь ∆PQT, который состоит из двух треугольников площадью по 1/8.

 2 * 1/8 = 2/8 = 1/4

Ответ: S = 1/4