Ответ:

1. Дано:

МО=ОЕ

РО=ОК

Док-ть

Угл КМО=углу РЕО

ДОК-ВО

1) Рассмотрим тр РОЕ И тр МОК

МО=ОЕ (п. у)

РО=ОК (п. у)

угл МОК =углу РОЕ (вертик)

Следует тр РОЕ= тр МОК по 1 признаку

2) Из тр РОЕ = тр МОК следует угл КМО = углу РЕО

2. Рассмотрим треугольники DMP И DКP, у них  MP =КP,  DM=DК(по условию), DP - общая сторона. Значит треугольники равны (по 3 сторонам).

Из равенства треугольников следует,что угол  МDP =углу КDP(у равных треугольников соответственные углы равны), значит  DP – биссектриса угла MDK.

3. Построим  окружность с центром в вершине А с радиусом большим, чем расстояние от точки А до прямой ВС (черная окружность).

Эта окружность пересечет прямую ВС в двух точках (назовем их К и М).

Построим две окружности (на рисунке - синие) с центрами в точках К и М одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ).

Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую. Точку пересечения этой прямой с прямой ВС обозначим Н.

АН - искомая высота.

Красная прямая всегда пройдет через точку А, потому что точка А  равноудалена от концов отрезка КМ и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. А красная прямая - это и есть серединный перпендикуляр к отрезку КМ.