Verified answer

Ломаная будет наименьшей длины, если она - прямая :))) Поэтому прямоугольный треугольник с вершинами (-8,-y) (8,9) (8,-y) подобен треугольнику с вершинами (0,y) (8,9) (8,y)

(в первом треугольнике гипотенуза соединяет первую и третью точки, во втором - вторую и третью, вторая гипотенуза совпадает с отрезком ломаной, а первая - только в случае, если ломаная вырождается в прямую, - можно конечно взять и наклон первого куска ломаной, между первой и второй точкой, результат будет тот же).

(y + 9)/16 = (9 - y)/8; (это просто тангенсы наклона этих самых гипотенуз :))

y = 3; 

То есть надо найти расстояние между точками (-8,-3) и (8,9). Оно равно

корень(16^2 + 12^2) = 20 (получился "египетский" треугольник)

Согласен, решение - неверное. 

Длина ломаной в общем случае такая

корень((2*y)^2 + 8^2) + корень((9-y)^2 + 8^2) = f(y);

f(y) = 2*корень(y^2 + 16) + корень(y^2 - 18*y + 145);

производная по y 

f'(y) = 2*y/корень(y^2+16) + (y-9)/корень(y^2-18*y+145);

экстремум f'(y) = 0;

2*y/корень(y^2+16) + (y-9)/корень(y^2-18*y+145) = 0;

2*y/корень(y^2+16) = (9-y)/корень(y^2-18*y+145);

теперь видно, что знак y должен совпадать со знаком 9 - y, то есть 0<y<9;

возводим в квадрат

4*y^2/(y^2+16) = (9-y)^2/(y^2-18*y+145); ужас, уравнение 4 степени.

единственно, что я успел - можно показать, что возможное решение y

<4/корень(3) <3. 

численное решение дает 1,36403687959384

число какое-то знакомое, не могу вспомнить, откуда.

Длина левого участка ломанной √(2у)²+8²=2√(у²+16)

Длина правого участка √(9-у)²+8²=√(у²-18у+145)

L(y) = 2√(у²+16)+√(у²-18у+145)

Приравняв к нулю производную, можно было бы получить минимум

L'(y) = 2*y/√(у²+16)+ (y-9)/ √(у²-18у+145) = 0;

но уравнение  аналитически не решается. Нужный корень  можно получить  численным путем, например с использованием  пакета «Maple»,  он примерно равен  y = 1.460274288, при этом минимальное значение длины ломаной будет 

L = 19.50949576.

Короче говоря, эта задача не для 10-го класса. Спасибо коллеге - cos20093.