Плоскость АВС1 - это плоскость АВС1D1 (то есть D1 принадлежит ABC1, это - потому, что через С1 можно провести только одну прямую II АВ). Далее, ВС1 и В1С - диагонали квадрата, и пересекаются в точке М - центре квадрата ВВ1С1С. При этом В1М перпендикулярно ВС1. Но В1М перпендикулярно и D1C1, поскольку D1C1 перпендикулярна вообще всей плоскости грани ВВ1С1С. Поэтому В1М перпендикулярно плоскости АВС1D1.
Таким образом, АМ является проекцией АВ1 на плоскость АВС1, и угол наклона АB1 к этой плоскости находится из прямоугольного треугольника АВ1М - это угол В1АМ. Обозначим его Ф;
sin(Ф) = В1М/АВ1;
Легко сосчитать, что В1М = В1С/2 = корень(1^2 +1^2)/2 = 1/корень(2); AB1 = корень(1^2 + 2^2) = корень(5);
sin(Ф) = 1/корень(10); это ответ.
Поскольку, как выянилось, этот ответ отличается от того, который "известен" автору задачи, я приведу другие варианты того же ответа. Поскольку
cos(Ф) = корень(1 - 1/10) = 3/корень(10);
tg(Ф) = sin(Ф)/cos(Ф) = 1/3; (любопытно, что АМ = 3*В1М)
Answers & Comments
Verified answer
Плоскость АВС1 - это плоскость АВС1D1 (то есть D1 принадлежит ABC1, это - потому, что через С1 можно провести только одну прямую II АВ). Далее, ВС1 и В1С - диагонали квадрата, и пересекаются в точке М - центре квадрата ВВ1С1С. При этом В1М перпендикулярно ВС1. Но В1М перпендикулярно и D1C1, поскольку D1C1 перпендикулярна вообще всей плоскости грани ВВ1С1С. Поэтому В1М перпендикулярно плоскости АВС1D1.
Таким образом, АМ является проекцией АВ1 на плоскость АВС1, и угол наклона АB1 к этой плоскости находится из прямоугольного треугольника АВ1М - это угол В1АМ. Обозначим его Ф;
sin(Ф) = В1М/АВ1;
Легко сосчитать, что В1М = В1С/2 = корень(1^2 +1^2)/2 = 1/корень(2); AB1 = корень(1^2 + 2^2) = корень(5);
sin(Ф) = 1/корень(10); это ответ.
Поскольку, как выянилось, этот ответ отличается от того, который "известен" автору задачи, я приведу другие варианты того же ответа. Поскольку
cos(Ф) = корень(1 - 1/10) = 3/корень(10);
tg(Ф) = sin(Ф)/cos(Ф) = 1/3; (любопытно, что АМ = 3*В1М)
ctg(Ф) = 3;
То возможны такие варианты ответа
Ф = arcsin(1/корень(10)) = arccos(3/корень(10)) = arctg(1/3) = arcctg(3);
Все эти ответы верные, а точнее- это один и тот же ответ, если у автора есть другой ответ - пусть проверит источник :))