Verified answer

Даны вершины тетраэдра:

A(-1; 2; 4),B(-1; -2; -4), C(3; 0; -1), D(7; -3; 1).

Найти высоту из вершины D.

1) Вычисляем площадь грани ABC .

Для этого надо найти векторное произведение векторов  АВ и АС.

Вектор АВ = (-1-(-1); -2-2; -4-4)) = (0; -4; -8).

Вектор АC = (3-(-1); 0-2; -1-4)) = (4; -2; -5).

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

 i        j       k|         i         j

0      -4    - 8|        0       -4

4      -2     -5|        4       -2   =   20i - 32j + 0k - 0j - 16i + 16k =

                                           =   4i - 32j + 16k = (4; -32; 16).

Модуль равен √(4² + (-32)² + 16²) = √1296 = 36.

Площадь S = (1/2)*36 = 18.

2) Находим объем пирамиды ABCD .

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

ABxAC    =   (4; -32; 16).  Найдено выше.

Вектор АD = (7-(-1); -3-2; 1-4) = (8; -5; -3).

V =(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(4*8 + (-32)*(-5) + 16*(-3))| = 144/6 = 24.

3) Находим высоту по формуле H = 3V/S = 3*24/18 = 4.