oiVTio Вариант 1

№1
а) lg^2 x - lg x - 2 = 0
Пусть lg x = t, а lg^2 x = t^2, тогда:
t^2 - t - 2 = 0
D = 1 - 4 * (-2) * 1 = 1 + 8 = 9
t1 = (1 + √9)/2 = 4/2 = 2
t2 = (1 - √9)/2 = (-2)/2 = -1
Обратная подстановка:
1)lg x = 2 (или log10 x = 2)
x = 10^2 = 100
2)lg x = -1 (или log10 x = -1)
x = 10^(-1) = 0,1

Ответ: x = 100, x = 0,1.

б) x^(log5 x) = 625 
log5 (x^(log5 x)) = log5 625 I По формуле loga x^b = b*loga x, значит:
(+) log5 (x^(log5 x)) = log5 x * log5 x
log5 x * log5 x = log5 625
log5 x * log5 x = 4
1) [a*a = 4, значит a = 2] =>  log5 x = 2
x = 5^2 = 25
2)[a*a = 4, значит a = -2] =>  log5 x = -2
x = 5^(-2) = 1/25

№2
[ log2 x + log2 y = 5     ОДЗ: x>0, y>0
[ 3x - y = 20

1)log2 x + log2 y = 5
log2 x*y = 5
x*y = 2^5
x*y = 32 (1)

2)3x - y = 20
y = 3x - 20 (2)

Подставим (2) в (1):
x*(3x - 20) = 32
3x^2 - 20x - 32 = 0
D = 400 + 4 * 32 * 3 = 784 = 28^2
x1 = (20 +28)/6 = 48/6 = 8
x2 = (20 - 28)/6 = -4/3 - не подходит по ОДЗ.

Итак, x = 8, значит y = 3*8 - 20 = 24 - 20 = 4

Ответ: x = 8, y = 4