Verified answer

Задание решено Пользователем    Nina200 Светило науки

Исправлено оформление и опечатка.

1)  Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.  

↑FA · ↑FB = |↑FA| · |↑FB| · cos∠AFB,

из прямоугольного треугольника  ADF по теореме Пифагора

AF =√(3² + 4²) = 5, FB = FA = 5 (ΔADF = ΔACF по двум катетам),

из треугольника AFB по теореме косинусов:

cos∠AFB = (FA² + FB² - AB²) / (2FA·FB) =

= (5² + 5² - 6²) / (2 · 5 · 5) = 7/25

↑FA · ↑FB = 5 · 5 · 7/25 = 7

Ответ:  d)

2) ↑АК · ↑А₁С₁ = ↑АК ·↑АС = |↑АК| · |↑АС| · cos∠CAB

АС - диагональ квадрата, диагональ квадрата больше стороны в √2 раз, поэтому АС = 4√2.  Угол между диагональю и стороной 45°.

↑АК · ↑АС = 2 · 4√2 · √2/2 = 8  

Ответ: е)

3) ВА₁ и ВС₁ диагонали квадратов, поэтому больше сторон в  √2 раз,

ВА₁ = ВС₁ = √2

треугольник А₁ВС₁ равносторонний, все углы по 60°, cos∠A₁BC₁ = 1/2,

↑ВА₁ · ↑ВС₁ = |↑BA₁| · |↑BC₁| · cos∠A₁BC₁ = √2 · √2 · 1/2 = 1

Ответ: а)

4) ВD₁ - диагональ куба, она равна корню квадратному из суммы квадратов трёх его измерений:

ВD₁ = √(2² + 2² + 2²) = √12 = 2√3

ВС₁ - диагональ квадрата, ВС₁ = 2√2

ΔВD₁С₁: ∠BC₁D₁ = 90°,

            cos∠C₁BD₁ = BC₁ / BD₁ = 2√2 / (2√3)= √2/√3

↑ВD₁ · ↑ВС₁ = |BD₁| · |BC₁| · cos∠C₁BD₁ = 2√3 · 2√2 · √2/√3 = 8

Ответ: d)

5) По теореме Пифагора АС = √(АВ² + ВС²) = √(5² + 12²) = 13,

угол между векторами тупой, cosα = - 5/13,

биссектриса ВD разделила гипотенузу на 2 отрезка АD и DС, пусть АD = х, тогда DС = 13-х. По свойству биссектрисы х/5 = (13-х)/12

5 · (13 - х) = 12х

17х = 65

х = 65/17

↑ВА · ↑АD = |↑BA| · |↑AD| · cosα = 5 · 65/17 · ( - 5/13) = - 125/17

Ответ: е)

6) Вектор АВ имеет координаты (-2; 2; 0),

вектор ОС имеет координаты (2; 2; 0)

↑АВ · ↑ОС = -2 · 2 + 2 · 2 + 0 · 0 = - 4 + 4 + 0 = 0

Ответ: е)

Подробнее - на Znanija.com - znanija.com/task/2054040#readmore