Помогите с геометрией срочно!!! У прямой четырёхугольной призмы в основании лежит ромб с углом 120° и стороной 6 см. Определи площадь меньшего диагонального сечения, если высота призмы — 2 см.
Пусть дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁, при этом ABCD - основание,
∠ABC=120°, AB = 6см, H = 2см.
Сумма соседних углов ромба равна 180°.
В ромбе ABCD:
∠B+∠A = 180°;
∠A = 180°-∠B;
∠A = 180°-120° = 60°;
Против меньшего угла ромба лежит меньшая диагональ.
∠A < ∠B ⇒ BD < AC;
Все стороны ромба равны между собой.
AB = AD = 6см.
По теореме косинусов в △ABD:
BD² = AB²+AD²-2·AB·AD·cos∠A;
BD² = 2·AB²-2AB²·cos60° = 2·AB²-2AB²·(1/2);
BD² = 2AB²-AB² = AB²;
BD = AB = 6см.
Все боковые рёбра прямой призмы равны её высоте и перпендикулярны основанию. Поэтому меньшее диагональной сечение проходит через меньшею диагональ сечения.
DD₁ = BB₁ = H = 2см;
BB₁║DD₁ т.к. BB₁⊥(ABC) и DD₁⊥(ABC);
BB₁⊥(ABC), BD⊂(ABC) ⇒ BB₁⊥BD.
BB₁D₁D - прямоугольник т.к. (BB₁║DD₁; DD₁ = BB₁; BB₁⊥BD),
Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.
Answers & Comments
Verified answer
Пусть дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁, при этом ABCD - основание,
∠ABC=120°, AB = 6см, H = 2см.
В ромбе ABCD:
∠B+∠A = 180°;
∠A = 180°-∠B;
∠A = 180°-120° = 60°;
∠A < ∠B ⇒ BD < AC;
AB = AD = 6см.
По теореме косинусов в △ABD:
BD² = AB²+AD²-2·AB·AD·cos∠A;
BD² = 2·AB²-2AB²·cos60° = 2·AB²-2AB²·(1/2);
BD² = 2AB²-AB² = AB²;
BD = AB = 6см.
DD₁ = BB₁ = H = 2см;
BB₁║DD₁ т.к. BB₁⊥(ABC) и DD₁⊥(ABC);
BB₁⊥(ABC), BD⊂(ABC) ⇒ BB₁⊥BD.
BB₁D₁D - прямоугольник т.к. (BB₁║DD₁; DD₁ = BB₁; BB₁⊥BD),
S(BB₁D₁D) = BB₁·BD = 2см·6см = 12 см².
Ответ: 12см².