Verified answer

7) Дана вписанная трапеция. Основания АВ = 11, ВС = 2. Дуга АД = 120°.

а) Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Проведём диагонали АС и ВД.

Получим точку Р на пересечении диагоналей.

Углы наклона диагоналей к основанию равны по 60 градусов как вписанные углы (120/2= 60).

Треугольники из диагоналей и оснований - равносторонние длиной по 11 и 2 ед.

В треугольнике АРД имеем стороны по 2 и 11 угол между ними 120 градусов. Отсюда можем определить длину боковой стороны.

АД = √(2² + 11² - 2*2*11*cos120°) = √(4 + 121 - 44*(-1/2)) = √147.

Теперь можно найти радиус окружности R.

R = (AD/2)/sin(120/2) = (√147/2)/(√3/2) = √49 = 7.

б) Угол FCO = ∠FCM - ∠OCM.

Находим СМ = √(11 + 2)² - 5,5²) = √(169 - (169/4)) = (13/2)√3.

∠FCM = arc tg(4,5/(13/2)√3) = arc tg 0,3997 = 0,38025 радиан =

= 21,7868 градуса.

∠OCM = arc sin(1/7) = 0,14335 радиан = 8,2132 градуса.

Искомый угол   FCO = 21,7868 - 8,2132 = 13,5736 градуса.

Так как треугольник ТСО равнобедренный (2 стороны - 2 радиуса)

то угол между радиусами равен 120 - 2*13,5736 = 152,8528 градуса.

Теперь можем определить площадь треугольника FCO.

S(FCO) = (1/2)7*7*sin(152,8528°) = (1/2)*49*0,45628 = 11,1788 кв.ед.