Удачник66

Verified answer

Неравенство страшно только на вид.
Спасает то, что у обоих логарифмов основание одинаковое.
1) Найдем сначала область определения.
Основание логарифма должно быть положительно и не = 1.
Число под логарифмом должно быть положительно.
Знаменатель дроби не должен равняться 0
{
{
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 > 0
{
{
Выделим отдельно три неравенства
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 + 6x + 10 > 0
Они все три выполняются при любом х, поэтому их можно убрать.
{
{
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 =/= 1
{

В 1-ом неравенстве показатель (x+1)^2 > 0 при любом x =/= -1,
поэтому при любом x =/= -1.
Во 2-ом неравенстве (x+1)^2 =/= 1, то есть x+1 =/= -1 и x+1 =/= 1,
отсюда x =/= -2 и x =/= 0.
Решение 3-го неравенства x < 0 U x > 2
4-ое неравенство можно переписать так:
x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1 =/= 1
Его решение: x =/= -3
В итоге получаем решение первых 4 неравенств:
x ∈ (-oo; -3) U (-3; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (2; +oo)

Теперь решаем 5-ое неравенство

Основание логарифма 2x^2+2x+3 > 1 при любом х, поэтому
x^2 - 2x > 1
x^2 - 2x - 1 > 0
D = 4 - 4(-1) = 8
x1 = (2 - √8)/2 = 1 - √2 ≈ -0,414
x2 = (2 + √8)/2 = 1 + √2 ≈ 2,414
x ∈ (-oo; 1-√2) U (1+√2; +oo)
С учетом первых трех неравенств получаем Область Определения:
x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 1-√2) U (1+√2; +oo)

2) Теперь решаем само неравенство.
Обозначим условно основание

У логарифмов есть интересное свойство:

Поэтому наше неравенство можно переписать так:

То есть логарифм от логарифма. Основание внешнего логарифма
x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1 >= 1 при любом x, поэтому
график внешнего логарифма - возрастающий, то есть

Но это основание тоже
2x^2 + 2x + 3 > 1 при любом х, поэтому график тоже возрастающий.
x^2 - 2x >= 2x^2 + 2x + 3
Отсюда
x^2 + 4x + 3 <= 0
(x + 3)(x + 1) <= 0
x ∈ [-3; -1]
С учетом Области Определения
x ∈ (-3; -2) U (-2; -1)