Если все слагаемые  А,В,...С делятся на 7, то каждый из них представляется в

виде  7а,7b,...,7c. Тогда их сумма равна 7а+7b+...+7c=7*(а+b+...+с),

значит она делится на 7.

Если сумма не делится на 7, то хотя бы одно слагаемое не делится на 7. Предположим, что это не так и все слагаемые делятся на 7. Но по только что доказанному факту  их сумма делится на 7. Приходим к противоречию. Значит утверждение доказано.