OO₁=H - высота, АВВ₁А₁ - сечение, ОА=ОВ=R - радиусы.

АВВ₁А₁||OO₁ ⇒ OO₁=AA₁=BB₁.

AB=BB₁=B₁A₁=AA₁, S(ABB₁A₁)=216 см² ⇒ AB=√216=6√6 см, ОО₁=6√6 см.

ОD(перпендикулярно)AB, OD=R/2,

ΔOAB: OA=OB, OD=OA/2 ⇒ AD=DB, AD=AB/2=6√6÷2=3√6 см.

ΔOAD: OA²=OD²+AD²=OA²/4+AD², 3OA²/4=AD², OA²=4AD²/3, OA=2√3·AD/3=2√3·3√6/3=6√2 см.

Sб=2пRH, R=6√2, H=6√6,

Sб=2π·6√2·6√6=144π√3 см².

So=πR², So=π·(6√2)²=72π,

S=Sб+2So=144π√3+144π.

Verified answer

1. Раз это квадрат, то длинна его стороны равна 216^0.5 = 6*6^0.5

2. половина этой длинны образует с радиусом цилиндра и расстоянием от сечения до центра (равное половине радиуса по условию) прямоугольный треугольник, т.е.

r^2=0.25t^2+(3*6^0.5)^2

0.75r^2 = 54

r = 6*2^0.5

3. зная радиус и высоту,( равную длинне сечения) вычислим полную площадь как

2*pi*r*h (боковая) + 2*pi*r^2(два основания)

2*pi*6*2^0.5*6*6^0.5 + 2*pi*36*2 = 144*pi*3^0.5 + 144*pi = 144*pi*(1+3^0.5) = 1235,9142

Ответ 1235,9142