Verified answer

ДАНО: y(x) = x^3 -6*x² + 9*x -3.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Используем теорему Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x-0,47)*(x-1,65)*(x-3,88)

Нули функции: Х₁ =0,47, Х₂ =1,65,  Х₃ =3,88

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0,47]U[1,65;3,88]  Положительная -Y(x)>0 X∈[0,47;1,65]U[3,88;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   -3

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная - общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x²  -12*x + 9 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=1   Х5=3

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=1) =1.   Минимум Ymin(X5=3) =-3

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;1;]U[3;+∞) , убывает - Х∈[1;3]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -12 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=2

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=2]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=2; +∞).

11. График в приложении.