Чертёж ниже, кликни

1)По условию AK : AN = 1 : 3. 

Отсюда

АК = 1 часть

AN = 3 части

NК = 1 + 3 = 4 части

2)Проведем высоту NC, 

CК= МК/2 = 5 см.

3)По теореме Пифагора найдем NC из прямогольного Δ NСК.

NC = √(NK² - CK²) = √(20² - 5²) =  √ 375 = 5√15.

4)Опустим из точки А перпендикуляр АH на сторону МК.

5)Δ CКN подобен ΔHКА, т. к. АH||NC и оба прямоугольные.

6)Чтобы найти АН составим пропорцию соответственных сторон:

CN: AH = NК : АК

 5√15 : АH = 4 : 1
АH= 5√15/4.

7)Чтобы найти НК составим пропорцию соответственных сторон:

CК: HК = NК: АК

5 : HК = 4 : 1

HК = 5/4 = 1,25.

8)Теперь найдем МH:

МН = MK - HK = 10 - 1,25 = 8,75.

9)Из прямоугольного Δ МАН по теореме Пифагора найдём, наконец, АМ:

АМ= √(МН² + АН²) = √(8,75)² + (5√15/4)² =

√(76,5625 + 375/16)  = √(76,5625 + 23,4375) = √100 = 10 см

Ответ: 10 см.