Первый способ:

Ивану Царевичу нужно загадать 15 552. Каждый день он будет делить это число на натуральное, превосходящее 1. Лучше всего делить на 2, но 2 дня подряд нельзя использовать одно и то же число, поэтому на второй день он поделит то, что получилось, на 3. На третий день снова на 2 и так далее. Чередование 2 и 3.

Делим:

15 552 / 2 = 7 776 (первый день);

7 776 / 3 = 2 592 (второй день);

2 592 / 2 = 1 296 (третий день);

1 296 / 3 = 432 (четвёртый день);

432 / 2 = 216 (пятый день);

216 / 3 = 72 (шестой день);

72 / 2 = 36 (седьмой день);

36 / 3 = 12 (восьмой день);

12 / 2 = 6 (девятый день);

6 / 3 = 2 (десятый день);

2 / 2 = 1 (одиннадцатый день, в который его съедят).

Итак, загадав 15552, Иван Царевич сможет продержаться ещё 10 дней.

Чтобы получить это число, необходимо понимать, что в конце концов мы придём к 1. Поэтому 15552 мы получим следущий образом:

1 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 (6 умножений на 2 и 5 умножений на 3).

Ответ: 15 552.

Второй способ:

Внимательно изучив условие задачи, мы приходим к выводу, что достаточно взять самые близкие к единице натуральные числа и по очереди их перемножать, пока не получится число, близкое к 3 000. Это числа 2 и 3.

2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 2 592.

Ответ:  2 592.