1. В задаче требуется доказать одно очень полезное свойство: в остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания высот, отсекает треугольник, подобный данному.
Итак, рассмотрим пару прямоугольных треугольников ABD и CBE: в них угол В - общий, запишем косинус этого угла дважды (через разные треугольники): cosB=BD/AB=BE/AB, тогда получаем, что стороны, заключающие угол В, пропорциональны друг другу, а по второму признаку подобия треугольников (который как раз и говорит о пропорциональности сторон) получаем, что ΔABC ~ ΔDBE.
Что и требовалось доказать.
2. Проведём в треугольнике АВС высоту, допустим, СН. Гипотенуза в ΔАВС по теореме Пифагора находится запросто, и она равна 50. СН найдём по формуле: , где a и b - катеты, а c - гипотенуза, то есть СН = 24. Найдём sinА = 24/30=0.8 В ΔA'B'C' высота равна 12, а один из катетов 15. Найдём sinA'=12/15=0.8 Следовательно, по первому признаку подобия прямоугольных треугольников (по острому углу) получаем: т.к. sinA=sinA', то и угол А = угол А', значит треугольники ABC и A'B'C' подобны.
Answers & Comments
Verified answer
1. В задаче требуется доказать одно очень полезное свойство: в остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания высот, отсекает треугольник, подобный данному.Итак, рассмотрим пару прямоугольных треугольников ABD и CBE: в них угол В - общий, запишем косинус этого угла дважды (через разные треугольники): cosB=BD/AB=BE/AB, тогда получаем, что стороны, заключающие угол В, пропорциональны друг другу, а по второму признаку подобия треугольников (который как раз и говорит о пропорциональности сторон) получаем, что ΔABC ~ ΔDBE.
Что и требовалось доказать.
2. Проведём в треугольнике АВС высоту, допустим, СН. Гипотенуза в ΔАВС по теореме Пифагора находится запросто, и она равна 50. СН найдём по формуле:
В ΔA'B'C' высота равна 12, а один из катетов 15. Найдём sinA'=12/15=0.8
Следовательно, по первому признаку подобия прямоугольных треугольников (по острому углу) получаем: т.к. sinA=sinA', то и угол А = угол А', значит треугольники ABC и A'B'C' подобны.