Verified answer

Даны координаты вершин пирамиды:

A(0; 1; 2), B(-1; 0; 4), C(1; 4; 4), D(2; 2; 4).

д) Проведена высота DM, найти координаты точки M.

Точка M - это проекция точки D на плоскость ABC.  

Чтобы её найти, надо составить уравнение плоскости ABC и уравнение высоты, проведённой к ней, то есть найти точку пересечения прямой (высоты) и плоскости.

Направляющий вектор высоты - нормаль плоскости ABC.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA              y - yA              z - zA

xB - xA           yB - yA             zB - zA

xC - xA          yC - yA             zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x – 0             y – 1                 z - 2

-1 – 0             0 – 1                 4 - 2

 1 – 0             4 -  1                 4 – 2  = 0

 x – 0        y – 1      z – 2 |      x – 0         y – 1

   -1             -1           2   |          -1             -1

   1              3            2   |           1               3      =  

= (x - 0)*(-2) + (y - 1)*2 + (z - 2)*(-3) – (y - 1)*(-2) – (x - 0)*6 – (z - 2)*(-1) =

= -2x + 2y - 2 - 3z + 6 + 2y - 2 - 6x + z - 2 =

= -8x + 4y - 2z = 0.  

Нормальный вектор этой плоскости равен (-8; 4; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(2; 2; 4).

((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x - 2)/(-8) = (y - 2)/4 = ((z – 4)/(-2).

{-8x + 4y - 2z = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

4x - 8 = -8y + 16, отсюда y = (-1/2)x + 3.

-2x + 4 = -8z + 32, отсюда z = (1/4)x + (7/2).

Подставим их в уравнение плоскости.

-8x + 4*((-1/2)x + 3) – 2*((1/4)x + 7/2)) = 0,

-8x - 2x + 12 - (1/2)x – 7 = 0,

(-21/2)x = -5,

x = 10/21,

y = (-1/2)*(10/21)  + 3 =  58/21.  

z = (1/4)*(10/21) + (7/2) = 76/21.  

Найдена точка M пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью A1BC.

Это проекция точки D на плоскость АBC.

M((10/21); (58/21); (76/21)).

е) Находим расстояние от точки D (2; 2; 4) до прямой АВ.

Вектор АВ = (-1-0; 0-1; 4-2) = (-1; -1; 2).  

Пусть:

s = -1; -1; 2   - направляющий вектор прямой;

M1 = 0; 1; 2   - точка А, лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = 0 - 2; 1 - 2; 2 - 4 = -2; -1; -2

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s = i     j    k

                 -2   -1   -2

                 -1    -1    2 =

= i (-1·2 - (-2)·(-1))- j (-2·2 - (-2)·(-1)) + k (-2·(-1) - (-1)·(-1)) =

= i( -2 – 2) - j (-4 – 2) + k (2 - 1) =

= -4; 6; 1.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M1×s|/|s| = √((-4)² + 6² + 1²)/√((-1)² + (-1)² + 2²) = √53/√6 = √318/6 ≈ 2.972.

ж) Находим точку пересечения прямой DC с плоскостью Oyz (её уравнение х = 0).

Вектор DC = (1-2; 4-2; 4-4) = (-1; 2; 0).

Уравнение DC: (x – 2)/(-1) = (y – 2)/2 = (z – 4)/0.

По условию координата х = 0.

Получаем из уравнения прямой:

-2/-1 = (y – 2)/2, отсюда у = 2*2 + 2 = 6.

z – 4 = 0, отсюда z = 4.

Точка пересечения (0; 6; 4).