Задача 12.

Дано:

MK = NP;  KN = MP;

<KNP = 67°;

Найти <KMP.

Решение.

Рассмотрим ∆КМN и ∆PNM, у них:

1)  MK = NP по условию; 

2)  KN = MP по условию;

3)  KP - общая

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны: ∆КМN = ∆PNM.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов, значит, <KMP = <KNP = 67°.

Ответ: <KМP = 67°.

Задача 13.

 Дано:

AM и CP - биссектрисы;

AD = BC;  AB = CD;

<ABD = 25°;

BP = 3 см.

Найти <BDC; DM.

Решение.

1). Рассмотрим ∆ABD и  ∆CBD, у них:

 1)AD = BC - по условию; 

2) AB = CD - по условию;

3) BD - общая

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны: ∆ABD = ∆CBD .

Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов:

<ABD = <BDC = 25°;

<ADB = <DBC 

<DAВ = <DCB.

2) Каждый из равных углов <DAВ = <DCB разделён биссектрисами  АМ и СР на равные углы:

<DAM = <MАB = <DCP = <PCB.

3) Рассмотрим ∆BPC  и ∆AMD.

1)AD = BC - по условию; 

2) <BCP = <DAM;

3) <ADB = <DBC 

Если сторона и два прилегающих угла одного треугольника равны стороне и двум прилегающим углам другого треугольника, то эти треугольники равны: ∆BPC = ∆AMD.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: BР = DМ = 3 см.

Ответ: <BDC = 25°; DM = 3 см.

.