10 - 11 классы Математика 5+3 б

При каких значениях m уравнение f(x)=m имеет четыре различных корня ,где f(x)=|x^2+2x-8|

Отметить нарушение Phakim 02.10.2017

Ответы и объяснения

ProGroomer

ProGroomerПочетный Грамотей

Для начала заметим, что m≥0 (иначе уравнение не имеет решений). Затем раскроем модуль в уравнении. Получим:

\left [ {{x^2+2x-8=m} \atop {x^2+2x-8=-m}} \right. \\ \left [ {{x^2+2x+(-8-m)=0} \atop {x^2+2x+(m-8)=0}} \right.

Если эта совокупность имеет 4 решения, то дискриминанты каждого из этих уравнений должны быть положительны:

D_1=4+32+4m=36+4m\ \textgreater \ 0 \Rightarrow m\ \textgreater \ -9\\
D_2=4+32-4m=36-4m\ \textgreater \ 0\Rightarrow m\ \textless \ 9

Также вспомним, что m≥0 и получим, что m∈[0;9).

Теперь проверим, при каких m из данного промежутка могут совпасть какие-то из корней этих уравнений:

x_{1,2}={-2\pm\sqrt{36+4m}\over2}=-1\pm\sqrt{9+m}\\x_{3,4}={-2\pm\sqrt{36-4m}\over2}=-1\pm\sqrt{9-m}\\
-1+\sqrt{9+m}=-1+\sqrt{9-m}\Rightarrow m=0\\
-1-\sqrt{9+m}=-1-\sqrt{9-m}\Rightarrow m=0

Другие две пары рассматривать не имеет смысла:

\sqrt{9-m}=-\sqrt{9+m}\Rightarrow \left \{ {{9-m=0} \atop {9+m=0}} \right. \Rightarrow m\in \varnothing

Итог: m∈(0;9)

Ну это вряд ли правильно