Verified answer

Число 9 в четной степени оканчивается на 1, в нечетной – на 9. В задании степень нечетная, поэтому число оканчивается цифрой 9.

-------------------------

Докажем верность того, что число 9^(2k + 1) заканчивается цифрой 9 при любых k ∈ N, при помощи метода математической индукции.

1. Докажем, что утверждение верно для k = 1.

9^(2·1 + 1) = 9^3 = 9·9·9 = 729

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть число 9^(2k + 1) заканчивается цифрой 9. В таком случае его можно представить в виде 10a + 9, где a – некоторое целое неотрицательное число

3. Докажем, что из верности утверждения для некоторого k следует верность утверждения для k+1.

9^(2(k+1) + 1) = 9^(2k + 3) = 9^(2k + 1) · 9^2 = 9^(2k + 1) · 81.

Согласно нашему предположению 9^(2k + 1) = 10a + 9, поэтому:

9^(2k + 1) · 81 = (10a + 9) · 81 = 10·81a + 9·81 = 10·81a + 729 = 10·81a + 10·72 + 9 = 10(81a + 72) + 9 – то есть число заканчивается цифрой 9, что и требовалось доказать.