1) Найдем S₁ площадьсектора :

S₁ = πR²α / 360°

Еслиугол задан в радианах, то

S₁ = πR²α / (2π)  = 1/2 · R²α

 S₁ = 1/2 · R²α

2) Найдем S₂ площадьΔ АВО:

S₂ = 1/2 · R²·sinα

3) 

Найдем S площадьсегмента:

S = S₁ - S₂  

S = 1/2 · R²α - 1/2 · R²·sinα 

S= 1/2 · R²(α - sinα)

 4)

Поусловию, площадь сегмента равна 

S = 8π/3-4√3:

 Подставим вместо S его значение и получим уравнение:

 8π/3-4√3 = 1/2 · R²(α - sinα) 

Поменяем местами левую и правую части уравнения:

1/2· R²(α - sinα) = 8π/3-4√3

Обе части умножим на 2 и получим:

R²(α- sinα) = 16π/3-8√3

А теперь делаем преобразования только в правой части:

R²(α- sinα) = 16·(п/3-√3/2)

R²(α- sinα) = 4²·(п/3-√3/2)

 Очевидно, что:

α = π/3

sin π/3= √3/2

R² =4²

R = 4

Ответ: R = 4