Ответ:

Пошаговое объяснение:

Функция двух переменных z=f(x,y)

z=x³+2xy+y²-3x+5y+18;

1. берем частные прозводные по x и  y (здесь должны стоять знаки частных производных)

dz/dx=3x²+2y-3;

dz/dy=2x+2y+5;

2. приравниваем их к 0:

3x²+2y-3=0;

2x+2y+5=0;

решаем систему уравнений

3x²+2y-3=0;

y= -(5+2x)/2;

3x²-(2x+5)/2-3=0;

3x²-x-5/2-3=0;  

3x²-x-11/2=0;        D=1+12*11/2=66;  √D=√66=8,1

дискриминант некрасивый ((

x₁₂=1/6(1±8,1);       x₁=1.5; x₂=-1,2

y₁=-(5+2*1,5)/2= -4

y₂=-(5+2*(-1,2))/2= -1,3

получаем координаты критических точек

 x₁=1.5; y₁= -4;   N₁

 x₂=-1,2; y₂= -1,3.  N₂

3. берем вторую частную производную

d²z/dx²=6x= A

d²z/dy²=2= C

d²z/dxdy=6x+2= B    

4. составляем определители для обоих критических точек

x₁=1.5; y₁= -4;   N₁; A=6*1,5=9;

                             B=6*1,5+2=11;

                              C=2;

Δ=lA Bl        Δ=l 9 11 l

     lB Cl;           l 11 2 l= 18-121=-4<0 экстремума нет

x₂=-1,2; y₂= -1,3.  N₂     A=6*(-1,2)=-7,2

                                     B=6*(-1,2)+2=-5,2

                                      C=2

                         Δ=l -7,2 -5,2 l

                              l -5,2     2 l= -14,4+27=12,6>0 экстремум есть, и т.к. А=-7,2<0, то в этой точке максимум.

Примерно так...