Ответ:

В решении.

Объяснение:

1. Исследовать функцию у = х² - 4х - 5 и построить её график.

График квадратичной функции парабола, данная парабола со смещённым центром, ветви направлены вверх.

1) Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу:

                              Таблица:

х    -3    -2    -1     0    1     2    3    4    5    6    7

у    16    7      0   -5   -8   -9   -8   -5    0    7   16

2) Для построения найти координаты вершины параболы:

х₀ = -b/2a = 4/2 = 2;

у₀ = 2² -4*2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.

Координаты вершины параболы:  (2; -9).

2. Исследование функции:

1) Найти область определения функции.

Область определения - это проекция графика функции на ось Ох.

Обозначается как D(f) или D(у).

Область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.

Обычно запись: D(f) = х∈R, или D(f) = х∈(-∞; +∞).

2) Найти область значений функции.

Область значений - это проекция графика на ось Оу.

Обозначается как Е(f) или Е(y).

Область значений параболы определяется координатами вершины, конкретно у₀, значение у вершины параболы.

Если коэффициент перед х² отрицательный, ветви параболы направлены вниз, и область значений Е(f) будет у∈(-∞; у₀], то есть от вершины параболы вниз до - бесконечности.

А если коэффициент перед х² положительный, ветви параболы направлены вверх, область значений Е(f) будет у∈[y₀; +∞), то есть от вершины параболы вверх до + бесконечности.

Область значений - значения у, в каких пределах парабола существует.

У данной функции у₀ = -9, ветви параболы направлены вверх,

Е(y) = у∈[-9; +∞).

3) Найти нули функции.

Нули функции - точки пересечения любым графиком оси Ох, где у=0.

у = х² - 4х - 5

х² - 4х - 5 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 16 + 20 = 36        √D= 6

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(4-6)/2

х₁= -2/2

х₁= -1;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(4+6)/2

х₂=10/2

х₂=5.

Координаты нулей функции (-1; 0);  (5; 0).

Можно нули функции определить по построенному графику, не решая квадратное уравнение.

4) Определить промежутки знакопостоянства (при каких значениях х

у >0 и у < 0).

Согласно графика, у > 0 (выше оси Ох) при х∈(-∞; -1)∪(5; +∞).

Согласно графика, у < 0 (ниже оси Ох) при х∈(-1; 5).

5) Определить промежутки возрастания и убывания функции:

(значения х, при которых функция возрастает и убывает):

у возрастает при х∈2; +∞);  убывает при х∈(-∞; 2).

6) Определить у наибольшее, у наименьшее.

у наиб. не существует, у наим. = -9.

2. Дана функция: f(x) = -3х² - 5х -2.

а) найти f(2);  f(-1);

Подставить в уравнение значение х и вычислить значение у:

а) f(2) = -3х² - 5х -2     х = 2

f(2) = -3 * 2² - 5*2 - 2 = -12 - 10 - 2 = -24

f(2) = -24;

б) f(-1) = -3х² - 5х -2     х = -1

f(-1) = -3 * (-1)² - 5*(-1) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0

f(-1) = 0.

b) (x; 0)   x=?

Подставить в уравнение значение у и вычислить значение х:

у = -3х² - 5х -2

-3х² - 5х -2 = 0/-1

3х² + 5х + 2 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 25 - 24 = 1         √D=1

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-5-1)/6

х₁= -6/6

х₁= -1;                

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(-5+1)/6

х₂= -4/6

х₂= -2/3.

у = 0 при х = -1;  х = -2/3.

3. Задача.

х - собственная скорость лодки.

х + 2 - скорость лодки по течению.

2/(х + 2) - время лодки по течению.

1/х - время лодки по озеру.

По условию задачи уравнение:

2/(х + 2) + 1/х = 1

Умножить все части уравнения на х(х + 2), чтобы избавиться от дробного выражения:

2*х + 1*(х + 2) = 1*х(х + 2)

2х + х + 2 = х² + 2х

2х + х + 2 - х² - 2х = 0

-х² + х + 2 = 0/-1

х² - х - 2 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 1 + 8 = 9        √D= 3

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(1-3)/2

х₁= -2/2 = -1, отбрасываем, как отрицательный.

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(1 + 3)/2

х₂=4/2

х₂=2 (км/час) - собственная скорость лодки.

Проверка:

2/4 + 1/2 = 0,5 + 0,5 = 1 (час), верно.