Ответ:

4:9

Объяснение:

Пусть площадь треугольника АВС=S

Тогда площадь треугольника ВАЕ =S(BAE)=S*AE/AC=S/4

Аналогично площадь треугольника ВЕС=S(BEC)= S*EC/AC=S*3/4

Площадь треугольника ВАК = S(BAK)= S(BAE)* BK/BE

Площадь треугольника ВКM = S(BKM)= S(BEC)* (BK/BE)*(BM/BC)

Найдем отношение ВК/BE.

Проведем AF параллельно BC до пересечения с продолжением прямой ВЕ за точку Е.

треугольник AEF подобен CEB

Тогда BC/AF=BE/FE=CE/AE =3:1

BE:FE=3:1 => BE:BF=3:4                                    (1)

Треугольники ВКМ и FKA  также подобны

MB/AF=KM/AK=BK/KF=3:2 ( так как BM=1/2*BC)

Тогда ВК/BF= 3:5                                            (2)

Из (1) и (2) получим:

ВК:ВЕ=3/5 : 3/4= 4/5

S(BAK)= S(BAE)*4/5= S/4*4/5=S/5

S(BKM)= S(BEC)*(BK/BE)*(BM/BC)=3S/4*(4/5)*(1/2)=3S/10

S(CEKM)=S(BEC)-S(BKM)

S(CEKM)=3S/4- 3S/10=9S/20

S(ABK):S(CEKM)=S/5 : (9S/20)=20/(9*5)=4/9