Verified answer

Дана равнобокая трапеция АВСД с основанием а и острым углом α.

Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне,то большее основание - диаметр окружности,  описанной вокруг трапеции.

Центр её - точка О.

Проведём радиус ОС и высоту СЕ.

Найдём длину боковой стороны из прямоугольного треугольника АСД:

АВ = СД = a*cosα.

Верхнее основание равно:

ВС = а - 2(a*cosα)*cosα = a - 2a*cos²α.

Найдём среднюю линию L трапеции:

L = (АД + ВС)/2 = (a + a - 2a*cos²α)/2 = (2a(1 - cos²α))/2 = a*sin²α.

Найдём высоту трапеции H: СЕ = CD*sin α = a*cos α*sin α = (a*sin2α)/2.

Теперь можно получить ответ:

S = LH = (a*sin²α)*((a*sin2α)/2) = (a²*sin²α*sin2α)/2.

Чтобы найти максимум полученной функции, надо найти производную её при а = константа и приравнять нулю.

В результате получим максимум площади при остром угле трапеции, равном 60 градусов.