Пошаговое объяснение:

Щоб показати, що вектори p, q, r утворюють базис тривимірного простору, потрібно перевірити, чи є вони лінійно незалежними і чи охоплюють вони всі можливі напрямки у просторі.

Перевіримо спочатку лінійну незалежність. Для цього складемо матрицю, що містить вектори p, q, r як стовпці і застосуємо до неї операції елементарних перетворень рядків, щоб привести матрицю до ступеневої форми:

css

[ 2 1 4 ]

[ 0 1 1 ]

[ 1 0 2 ]

Зверніть увагу, що на головній діагоналі знаходяться одиниці, що свідчить про те, що вектори p, q, r лінійно незалежні.

Тепер перевіримо, чи охоплюють вони всі можливі напрямки у просторі. Так як у нас три вектори, ми знаємо, що вони можуть утворити базис тільки у тривимірному просторі, тому нам потрібно перевірити, чи можна скласти будь-який вектор у тривимірному просторі з лінійної комбінації векторів p, q, r. Щоб це зробити, ми шукаємо такі коефіцієнти a, b, c, що вектор x можна представити як лінійну комбінацію векторів p, q, r:

x = ap + bq + c*r

Підставляючи відповідні значення, маємо:

(8; 0; 5) = a*(2; 0; 1) + b*(1; 1; 0) + c*(4; 1; 2)

Розв'язуємо цю систему рівнянь методом елімінації Гауса:

css

2a + b + 4c = 8

b + c = 0

a + 2c = 5

Розв'язуючи цю систему, маємо:

a = 1

b = -1

c = 1

Отже, координати вектор x у базисі {p, q, r} дорівнюють (1, -1, 1), оскільки x можна представити як лінійну комбінацію векторів p, q, r з коефіцієнтами 1, -1, 1 відповідно.

Отже, ми показали, що вектори p, q, r утворюють базис тривимірного простору, і знайшли координати вектора x у цьому базисі.