Условие:

При каких значениях k и b система неравенств:

задает на координатной плоскости:

а) полосу; б) угол; в) прямую

Может ли задача не иметь решений?

Объяснение:

Множество точек, заданное неравенством y ≤ 3x - 1 - прямая y = 3x - 1 и "нижняя" полуплоскость, границей которой является данная прямая

Множество точек, заданное неравенством y ≥ kx + b - прямая y = kx + b и "верхняя" полуплоскость, границей которой является данная прямая:

Возможны следующие случаи:

1. k = 3; b = -1; В этом случае в качестве решения получаем прямую y = 3x - 1, так как 1-е и 2-е неравенства в качестве решений дадут, соответственно "нижнюю" и "верхнюю" полуплоскости с общей границей, каковая и будет решением системы. Мы ответили на вопрос в)

2. k = 3; b ≠ -1; Здесь границы будут параллельны, причем:

а) если граница 2-й полуплоскости будет выше границы 1-й (то есть b > -1), то система решений иметь не будет, поэтому ответ на вопрос "может ли система не иметь решений?" - утвердительный.

б) если граница 2-й полуплоскости будет ниже границы 1-й (то есть b < -1), то решением системы будет полоса, заключенная между прямыми y = 3x - 1 и y = 3x + b. Мы ответили на вопрос а)

3. k ≠ 3, тогда y = kx + b - любая прямая не параллельная y = 3x - 1 и не параллельная оси OY, а решением 2-го неравенства будет "верхняя" полуплоскость с границей y = kx + b. В этом случае в качестве решения получим угол, образуемый "верхними" лучами" границ полуплоскостей. Иллюстрации для 2. и 3. пунктов - см. на рисунке.